Von Kurvenfahrt und Achterbahn

Kurvenfahrt

Setzt man eine Kugel auf einer ebenen Unterlage in Gang, dann rollt diese so lange auf einer geraden Bahn weiter, bis sie wegen der Reibung stehen bleibt. Man kann diesen Körper dadurch aus der geraden Bahn ablenken, dass man eine Kraft senkrecht zur Bewegungsrichtung ausübt.

Man sieht an diesem Versuch, dass ein Kraftstoß lediglich die Richtung der Bahn ändert. Da jede Geschwindigkeit einen Betrag und eine Richtung hat, wird durch eine senkrecht auf die Ausbreitungsrichtung ausgeübte Kraft die Geschwindigkeit nur der Richtung nach geändert. Nach dieser Richtungsänderung läuft die Kugel wieder geradlinig in der neuen Richtung mit gleicher Geschwindigkeit weiter. Dies ist das bekannte 1. Gesetz von Newton, das besagt, dass ein Körper solange seinen Bewegungszustand beibehält, solange keine Kraft auf ihn einwirkt. Um einen Körper auf eine Kreisbahn zu zwingen, muss dauernd eine Kraft einwirken, die jeweils senkrecht zur Bewegungsrichtung wirkt.

Experiment
Trägheit

Diese zum Zentrum der Drehung gerichtete Kraft, nennt man Zentripetalkraft.

Versuche den Hammer innerhalb der markierten Zone so weit wie möglich zu werfen!

Wovon hängt die Größe der Zentripetalkraft ab?

Es ist klar, dass man für einen massereicheren Körper mehr Kraft benötigt, um ihn abzulenken. Das bedeutet, dass ein massereicherer Körper eine größer Zentripetalkraft benötigt, um genauso abgelenkt zu werden wie ein leichterer.

Damit man einen schnelleren Körper ablenkt, muss natürlich auch eine größere Kraft wirken. Denn – man denke an den Trägheitssatz – jeder bewegte Körper möchte ja seine Bewegungsgröße beibehalten.

Auch vom Kurvenradius hängt die Zentripetalkraft ab. Je kleiner der Kurvenradius ist, desto größer muss die Zentripetalkraft sein.

Ableitung der Formel zur Zentripetalkraft:

Zunächst betrachten wir die Geschwindigkeit des Körpers, der sich auf der Kreisbahn bewegt. Wir starten im Punkt A. Dort hat der Körper die Geschwindigkeit $$v_1$$.

Nach einiger Zeit ist der Körper im Punkt B.

Dort hat er die Geschwindigkeit $$v_2$$. Er hat auf dem Kreisbogen den Weg s zurückgelegt.

Die beiden Geschwindigkeiten unterscheiden sich nicht nach der Größe, sondern nur der Richtung nach. Die Veränderung der Geschwindigkeit ($$\Delta v$$) zeigt das Vektordiagramm.

Man stellt nun sehr leicht fest, dass hier ähnliche Dreiecke bestehen:

Bei ähnlichen Dreiecken kann man den Strahlensatz anwenden:

Die Länge der Sehne AB verhält sich zum Radius r wie die Geschwindigkeitsveränderung ($$\Delta v$$) zum Betrag der Bahngeschwindigkeit $$v$$.

Daraus ergibt sich:

Wenn der Unterschied der beiden Punkte (A und B) sehr klein ist, dann besteht zwischen der Sehne und dem Bogenstück s kein großer Unterschied. Man kann daher schreiben, dass die Sehne praktisch gleich groß dem zurückgelegten Weg s ist.

also: AB ~ s ist. Somit gilt:

Der Weg berechnet sich aber aus Geschwindigkeit mal Zeitdifferenz ($$\Delta t$$), sodass folgt:

Beide Seiten durch $$\Delta t$$ dividieren bekommt man

Auf der linken Seite steht eine Geschwindigkeitsänderung in einer bestimmten Zeit und das nennt man Beschleunigung.

Nun ist die Formel für die Zentripetalkraft sehr leicht zu erkennen, denn Kraft ist Masse mal Beschleunigung.

Warum kann es zu einem Schleudern in einer Kurvenfahrt kommen?

Damit ein Auto eine Kurve fährt, muss man die Richtung des Geschwindigkeitsvektors verändern, dies bewirkt die Zentripetalkraft. Durch die Haftung der Räder zur Straße wird die Lenkradbewegung zu dieser Kurvenfahrt führen. Tritt plötzlich Eisglätte auf, dann fällt die Haftreibung weg und das Auto kann nicht mehr in die Kurvenbahn gezwungen werden. Es fährt in Richtung der momentanen Geschwindigkeit weiter. Dass das Auto zumeist in rotierende Schleuderbewegung kommt, hängt damit zusammen, dass die Haftreibung der vier Räder nicht überall gleich ist.

Das gleiche kann aber auch passieren, wenn die Geschwindigkeit so groß ist, dass die Haftreibung der Räder nicht mehr ausreicht, das Auto in der Kurve zu halten.

Warum spürt man bei einer Kurvenfahrt eine Kraft nach außen?

Eine Person, die im Auto sitzt, möchte eigentlich geradeaus weiterfahren, also die Richtung beibehalten. In der oberen Zeichnung fährt das Auto eine Rechtskurve. Die Person möchte aber die Geschwindigkeitsrichtung $$\overrightharpoon{v}$$ beibehalten, wird aber mittels Haftreibung mit der Sitzfläche nach rechts „gezogen“. Gegen diese Bewegung „wehrt“ sich die Person, denn jeder Körper möchte seinen Bewegungszustand beibehalten, wie der Trägheitssatz besagt. Es ist also die Trägheit, die die Person im Auto als nach außen gerichtete Kraft spürt.

Warum muss man sich auf dem Rad in die Kurve legen?

Wenn man mit dem Fahrrad geradeaus fährt, dann wirken auf die fahrende Person zwei Kräfte: Die Gewichtskraft $$F_G$$ und die Gegenkraft $$F_N$$.

Fährt man eine Kurve, dann wirken folgende Kräfte:

Die fahrende Person legt sich in Richtung der resultierenden Kraft $$F_R$$ in die Kurve, was zu einer stabilen Kurvenfahrt führt. Allerdings nur solange, als die Haftreibung der Reifen zur Straße groß genug ist.

Damit eine Kurvenfahrt wirklich ganz stabil ist, müsste die Straße so überhöht sein, dass die resultierende Kraft $$F_R$$ senkrecht zur Straßenoberfläche weist.

Kräfte bei einer Achterbahnfahrt

Bei Achterbahnfahrten spürt man unterschiedliche Kräfte, die den besonderen Reiz jeder Achterbahn bewirken. Zumeist beginnt die Fahrt damit, dass der Wagen, in dem man sitzt, mit einem Kettenantrieb in luftige Höhen gezogen wird. Ist man am obersten Punkt angelangt, dann beginnt die Fahrt von selbst. Die nun gespeicherte Lageenergie (potenzielle Energie) muss für die gesamte Fahrt ausreichen. Meistens ist die erste Fahrtstrecke stark geneigt, damit man möglichst schnell auf hohe Geschwindigkeit kommt. Aufgrund der Erdanziehungskraft erfährt man eine entsprechende Beschleunigung und die potenzielle Energie geht zum Teil in Bewegungsenergie (kinetische Energie) über und man verliert an Höhe. Wegen der Trägheit saust man im Tal wieder in die Höhe, man verliert an kinetischer Energie und die potentielle Energie nimmt wieder zu. Bei einer Achterbahn ohne Looping werden die einzelnen Höhen immer kleiner, denn ein Teil der Energie geht durch Reibungskräfte „verloren“.

Den Nervenkitzel macht der Wechsel der Kräfte aus, die auf die Passagiere einwirken.

SchuBu-Bahn

Denke dir eine besonders aufregende Achterbahnstrecke aus und zeichne sie hier ein! Beobachte die Wirkung der Kräfte!

Experiment
Murmelachterbahn